3.4.8 Anwendung: Systeme von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung

Die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

$$y'(t) = a\;y(t), \qquad y(0)=y_0,$$ (3.6)

mit konstantem $a$ hat die Lösung

$$y(t) = e^{at} = y_0 \exp(at).$$

Mit der Spektralzerlegung kann dieses Resultat einfach auf Systeme von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

$$\mathbf{y}'(t) = A\;\mathbf{y}(t), \qquad \mathbf{y}(0)=\mathbf{y}_0$$

übertragen werden, welches die Lösung

$$\mathbf{y}(t) = \mathbf{y}_0 e^{At} = \mathbf{y}_0 \exp(A t)$$

hat.

Numerisch geht man so vor.

1. Berechne die Spektralzerlegung von $A$: $A = Q\Lambda Q^{-1}$. Die Differentialgleichung erhält dann die Form
   $$\mathbf{z}'(t) = \Lambda\;\mathbf{z}(t), \quad \mathbf{z}(0)=\mathbf{z}_0; \qquad \mathbf{z}(t) = Q \mathbf{y}(t), \mathbf{z}_0 = Q \mathbf{y}_0.$$

2. Das $n$-dimensionale System zerfällt damit in $n$ skalare Differentialgleichungen der Form (3.6), deren Lösung bekannt ist.

3. Die Lösung des ursprünglichen Problems erhält man durch Rücktransformation: $\mathtt{y}(t) = Q^{-1} \mathtt{z}(t).$