Wir zerlegen und so, dass und jeweils aus den ersten Spalten von resp. besteht. Dann bilden die Spalten von eine Orthonormalbasis des Kerns (Nullraums) von und eine Orthonormalbasis des Bilds von . Die Spalten von bilden eine Orthonormalbasis des Kerns (Nullraums) von und eine Orthonormalbasis des Bilds von .
Die Matrix ist eine ein-eindeutige Abbildung von in . Diese Abbildung hat eine Inverse, die sog. Pseudoinverse: .
Weitere wichtige Eigenschaften der SVD sind
>> format long >> A=[1.2969,0.8648;0.2161,0.1441]; >> y=[2;-2] y = 2 -2 >> b=A*y b = 0.86420000000000 0.14400000000000 >> x=A\b x = 2.00000000480060 -2.00000000719924 >> norm(y-x) ans = 8.653026991073135e-09 >> cond(A) ans = 2.497292668562500e+08 >> cond(A)*eps ans = 5.545103639731375e-08 >> norm(b-A*x) ans = 5.551115123125783e-17 >> norm(b-A*y) ans = 0
Peter Arbenz 2008-09-24