Polpac: MATLAB Toolbox zum Rechnen mit Polynommatrizen

Kurzbeschreibung

In der Regelungstechnik spielen Polynommatrizen eine wichtige Rolle. Sie werden beim Entwurf multivariabler linearer Regelkreise im Frequenzbereich eingesetzt, aber auch beim Entwurf robuster Regler multivariabler nichtlinearer Regelkreise.

Da Versionen von MATLAB vor Version 5 nicht mit solchen Datenstrukturen direkt umgehen konnten, entschied ich mich in den späten 80-er Jahren, eine Version einer Polynommatrizentoolbox für MATLAB zu entwickeln, die mit gewöhnlichen Matrizen auskam. Dazu mussten Polynommatrizen auf gewöhnliche Matrizen abgebildet werden.

Ich entschloss mich, meine Vorlesung zu den numerischen Methoden der Regelungstechnik ein Jahr lang als projekt-orientierte Vorlesung anzubieten. Die Vorlesung wurde zu jener Zeit von 15 Studenten besucht, die ich in fünf Gruppen einteilte. Die Polpac Toolbox wurde gemeinsam von meinen Studenten und mir während jener Vorlesung entwickelt.

Ein Hauptzweck von Polpac war es, die Fehlerfortpflanzung bei der Ausführung von Algorithmen zu beobachten und zu verstehen. Zu diesem Zweck wurden alle Routinen in drei Varianten geschrieben, die sich in der Darstellung der Polynome unterschieden. Im Modus 1 werden Polynome durch ihre Koeffizienten dargestellt. Im Modus 2 werden sie durch ihre Nullstellen repräsentiert, während der Modus 3 dazu eine Reihe von Stützwerten verwendet.

Heute bietet MATLAB Datenstrukturen an, die eine solche Entwicklung wesentlich vereinfachen würden. Algorithmen, die unter Verwendung solcher Datenstrukturen geschrieben wären, könnten auch leichter gelesen werden. Ich habe mir aber nie die Zeit genommen, die Polpac Toolbox neu zu schreiben.

Somit basiert die Polpac Toolbox immer noch auf Version 4 von MATLAB. Die Funktionen können zwar problemlos auch unter Verwendung neuerer Versionen von MATLAB ausgeführt werden, der Unterhalt der Bibliothek ist aber nicht optimal.

Historische Entwicklung

Die Fehlerfortplanzung beim numerischen Rechnen mit Polynommatrizen wurde bereits in den frühen 80-er Jahren von Magnus Rimvall und mir in einigen Studien- und Diplomarbeiten an der ETH Zürich untersucht. Dazumal richtete sich unser Augenmerk auf die Darstellung mittels Sätzen von Stützwerten, da diese Darstellung es erlaubt, Redundanzen einzuführen, die bei der Minimierung der Fehlervergrösserung ausgenützt werden können. Ein Student zeigte auf, dass es numerisch am zweckmässigsten ist, die Stützwerte äquidistant verteilt auf einem Einheitskreis der komplexen Ebene anzusetzen.
Im Jahre 1988 entwickelte ich zusammen mit meinen Studenten der Vorlesung zu den numerischen Methoden der Regelungstechnik eine erste Version einer Polpac Toolbox. Diese wurde allerdings dazumal in CTRL-C entwickelt, einem Vorläufer der heute weit verbreiteten MATLAB Software.
Im Jahre 1991 entwickelte Sung-Do Chi eine Stützwertdarstellung im Frequenzbereich, die sehr interessante numerische Eigenschaften aufwies [1].
Im Jahre 1997 wurde die Polpac Toolbox von CTRL-C auf Version 4 von MATLAB umgeschrieben. Dies ist die Version der Software, die auf dieser Webseite zur Verfügung gestellt wird. ()

Wichtigste Publikationen

Cellier, F.E., and S.D. Chi (1991), Numerical Properties of Trajectory Representations of Polynomial Matrices, Proc. CADCS'91, Computer-Aided Design in Control Systems, Swansea, Wales, U.K., pp.173-177.

English Version
Homepage