2.7.2 Vektorprodukte and Transponierte

Ein Zeilenvektor und ein Spaltenvektor können miteinander multipliziert werden. Das Resultat ist entweder ein Skalar (das innere oder Skalarprodukt) oder eine Matrix, das äussere Produkt.

     >> u = [3; 1; 4];
     >> v = [2 0 -1]; x = v*u

     x =

          2

     >> X = u*v

     X =

          6     0    -3
          2     0    -1
          8     0    -4

     >>

Bei reellen Matrizen spiegelt die Transposition die Elemente an der Diagonale. Seinen die Elemente der Matrix $m\times n$ Matrix $A$ bezeichnet als $a_{i,j}$, $1\le i\le m$ und $1\le j\le n$. Dann ist die Transponierte von $A$ die $n\times m$ Matrix $B$ mit den Elementen $b_{j,i} = a{i,j}$. MATLAB benützt den Apostroph für die Transposition.

     >> A = [1 2 3;4 5 6; 7 8 9]

     A =

          1     2     3
          4     5     6
          7     8     9

     >> B=A'

     B =

          1     4     7
          2     5     8
          3     6     9

     >>

Transposition macht aus einem Zeilenvektor einen Spaltenvektor.

     >> x=v'

     x =

          2
          0
         -1

     >>

Das Produkt zweier reeller Spaltenvektoren gleicher Länge ist nicht definiert, jedoch sind die Produkte x'*y und y'*x gleich. Sie heissen Skalar- oder inneres Produkt.

Für einen komplexen Vektor z bedeutet z' komplex-konjugierte Transposition:

     >> z = [1+2i 3+4i]
     
     z =
     
        1.0000 + 2.0000i   3.0000 + 4.0000i
     
     >> z'
     
     ans =
     
        1.0000 - 2.0000i
        3.0000 - 4.0000i
     
     >>

Für komplexe Vektoren sind die beiden Skalarprodukte x'*y und y'*x komplex konjugiert. Das Skalarprodukte x'*x ist reell. Es gibt aber auch den punktierten Operator .'

     >> z=z.', w = [4+6i;7+8i]

     z =

        1.0000 + 2.0000i
        3.0000 + 4.0000i

     w =

        4.0000 + 6.0000i
        7.0000 + 8.0000i

     >> z'*w, w'*z

     ans =

       69.0000 - 6.0000i

     ans =

       69.0000 + 6.0000i