3.4.3 Aufgaben

1. Polynominterpolation. Vorgegeben sei eine Funktion $f(x)$. Gesucht ist das Polynom
   $$p(x) = a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \ldots+ a_{n-1} x + a_{n}$$
   vom Grad $<n$ so, dass
   $$p(x_i) = f(x_i), \quad i = 1, \ldots, n.$$
   Diese Interpolation ist in Matrixschreibweise
   $$\left[\begin{array}{ccccc} x_1^{n-1} & x_1^{n-2} &\ldots& x_1 & 1... ...\begin{array}{c} f(x_1) \\ f(x_2) \\ \vdots\\ f(x_n) \\ \end{array}\right)$$
   oder
   $$V \mathbf{a} = \mathbf{f}$$
   Man verwende
   • Funktionen vander und polyval
   • Stützstellen x=[0:.5:3]'.
   • Funktionswerte f=[1 1 0 0 3 1 2]'

   Abbildung 3.3: Polynominterpolation

   
   Die Lösung sollte etwa so wie in Abbildung 3.3 aussehen.

2. Was leistet Ihr Computer?

   In dieser Aufgabe wollen wir sehen, wie schnell Ihr Computer rechnen kann.

   Die Idee ist, Gleichungssysteme mit immer höherer Ordnung mit dem Backslash-Operator zu lösen und die Ausführungszeit zu messen.

   Ihr Programm soll eine for-Schleife ausführen, welche für jeden der Werte in N,

   N = [10:10:100,150:50:500,600:100:1000];

   ein Gleichungssystem der entsprechenden Grösse löst. Ein Grundgerüst für Ihr Programm könnte so aussehen

   T = [];
   for n = ...
   
     % Hier wird eine Matrix der Ordung n und eine rechte Seite
     % erzeugt.  Verwenden Sie dazu die Funktion rand.
     % Reservieren Sie Platz f"ur den L"osungsvektor (zeros).
   
     tic
   
     % Hier wird das Gleichungssystem geloest.
   
     t = toc; T = [T,t];
   end
   

   Sie können nun N gegen die zugehörige Ausführungszeiten T plotten. Instruktiver ist es aber, wenn Sie zu allen Problemgrössen die Mflop/s-Rate berechnen und plotten. (Aus der linearen Algebra wissen Sie sicher, dass das Auflösen eines Gleichungssystems der Ordnung $n$ etwa $2/3 n^3$ Fliesskomma-Operationen ( $+, -, \times, /$) kostet.) Wie gross ist die höchste Mflop/s-Rate, die Sie erhalten haben und wie gross ist MHz-Rate des Prozessors Ihres Computers? (Die erhaltene Kurve kann geglättet werden, indem man mehrere Messungen ausführt und jeweils die besten Resultate nimmt.)