4.6 Aufgaben

1. Konstruieren Sie unter Verwendung von for-Schleife und if-Verzweigung die Matrix
   $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 0 & 0 &10 &11 &12 \\ 0 & 0 & 0 &13 &14 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &15 \end{bmatrix}.$$

2. Berechnen Sie den Wert des Kettenbruchs
   $$1 + \frac{\displaystyle1}{\displaystyle1 + \frac{\displaystyle1}{... ...playstyle1}{\displaystyle1 + \frac{\displaystyle1}{\displaystyle1+1}}}}}}}}}}$$
   für variable Länge des Bruchs. Um den Kettenbruch auszuwerten, müssen Sie ihn von unten nach oben auswerten. Das Resultat muss im Limes, d.h., wenn der Kettenbruch immer länger wird, den goldenen Schnitt $(1+\sqrt{5})/2$ geben.

3. Collatz-Iteration. Ausgehend von einer natürlichen Zahl $n_1$ berechnet man eine Folge von natürlichen Zahlen nach dem Gesetz $n_{k+1} = f(n_k)$ wobei
   $$f(n) = \left\{ \begin{array}{ll} 3n+1,\qquad & \mbox{falls $n$\ ungerade} \\ n/2,\qquad & \mbox{falls $n$\ gerade} \end{array}\right.$$
   Collatz vermutete, dass diese Folge immer zum Wert 1 führt. Bewiesen ist diese Vermutung aber nicht. Schreiben Sie eine while-Schleife, die ausgehend von einem vorgegebenen $n_0$ eine Collatz-Folge berechnet. Wenn Sie wollen, können alle Zahlen bis zur Eins speichern und danach die Folge plotten [11]. Zur Bestimmung, ob eine Zahl gerade oder ungerade ist, können Sie (wenn Sie wollen) eine der Funktionen rem oder mod verwenden.

   Bemerkung: Sie können sich die Aufgabe erleichtern, wenn Sie zuerst Abschnitt 5.1 über Scriptfiles lesen.

4. Tschebyscheff-Polynome. Tschebyscheff-Polynome sind rekursiv definiert:
   $$T_k(x) = 2x T_{k-1}(x) - T_{k-2}(x), \qquad T_0(x) = 1,\quad T_1(x) = x.$$
   Tschebischeff-Polynome oszillieren im Interval $[-1,1]$ zwischen den Werten -1 und 1. Berechnen Sie einige der Polynome in diesem Interval uns plotten Sie sie, siehe Fig. 4.1. Benützen Sie dabei eine for-Schleife. Setzen Sie

   x=linspace(-1,1,101)';

   Abbildung 4.1: Tschebyscheff-Polynome $T_0(x)$ bis $T_5(x)$