3.4.1 Lineare Gleichungssysteme

MATLAB bietet mehrere Möglichkeiten lineare Gleichungssysteme zu lösen. Das wichtigste Lösungsverfahren ist die Gauss-Elimination oder LU-Faktorisierung. Sei

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots && \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$$

eine reguläre (nicht-singuläre) $n\times n$ Matrix. Dann gibt es eine Zerlegung

$$L U = P A$$ (3.1)

wobei

• $L$ eine Linksdreiecksmatrix mit Einheitsdiagonale,
• $U$ eine Rechtsdreiecksmatrix und
• $P$ eine Permutationsmatrix ist.

Abbildung 3.2: Ein Portrait von Gauss 1777-1855

MATLAB berechnet diese Zerlegung mit sog. Spaltenpivotsuche^3.1. Ist eine solche Faktorisierung berechnet, dann kann das Gleichungssystem

$$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$$ (3.2)

durch Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen gelöst werden.

$$A \mathbf{x} = \mathbf{b} \Longleftrightarrow P^T L \underbrace{U \mathbf{x}}_{\displaystyle\mathbf{z}} = \mathbf{b}$$

$$L \mathbf{z} = P\mathbf{b} \mathrm{Vorw\uml {a}rtseinsetzen}$$

$$U \mathbf{x} = \mathbf{z} \mathrm{R\uml {u}ckw\uml {a}rtseinsetzen}$$

Auch bei der Berechnung der Determinante sollte man die Gauss-Zerlegung benützen:

$$\det A = \det P^T \cdot \det L \cdot \det U = \pm1\cdot \det U = \prod\limits_{i=1}^n u_{ii}$$ (3.3)

     >> [L,U,P] = lu(A)

     L =

         1.0000         0         0
         0.7500    1.0000         0
         0.2500    1.0000    1.0000

     U =

         4.0000    6.0000    9.0000
              0    0.5000   -2.7500
              0         0    4.5000

     P =

          0     0     1
          0     1     0
          1     0     0

     >> [L1,U1]=lu(A)

     L1 =

         0.2500    1.0000    1.0000
         0.7500    1.0000         0
         1.0000         0         0

     U1 =

         4.0000    6.0000    9.0000
              0    0.5000   -2.7500
              0         0    4.5000

     >> P'*L - L1

     ans =

          0     0     0
          0     0     0
          0     0     0