3.4.9 Singulärwertzerlegung (SVD)

Für $A\in{\mathbb{R}}^{m\times n}$ existieren orthogonale Matrizen $U\in{\mathbb{R}}^{m\times m}$ und $V\in{\mathbb{R}}^{n\times n}$ so, dass

$$U^* A V = \Sigma = (\sigma_1,\ldots,\sigma_p), \qquad p=\min(m,n),$$ (3.7)

mit $\sigma_1\ge\sigma_2\ge\cdots\ge\sigma_p\ge0$. (Wenn $A$ komplex ist, so sind $U$ und $V$ unitär.)

Die Zerlegung (3.7) heisst Singulärwertzerlegung.

     A=[1 3 5 7;2 4 6 8; 1 1 1 1; 4 3 2 1;0 1 0 1]

     A =

          1     3     5     7
          2     4     6     8
          1     1     1     1
          4     3     2     1
          0     1     0     1

     >> rank(A)

     ans =

          3

     >> S=svd(A)

     S =

        14.8861
         4.1961
         0.8919
         0.0000

     >> [U,S,V]=svd(A)

     U =

        -0.6102   -0.2899    0.0486    0.6913   -0.2517
        -0.7352   -0.1145    0.0558   -0.5855    0.3170
        -0.1249    0.1753    0.0071   -0.3668   -0.9050
        -0.2571    0.9338    0.0078    0.2116    0.1307
        -0.0738   -0.0120   -0.9972    0.0000   -0.0000

     S =

        14.8861         0         0         0
              0    4.1961         0         0
              0         0    0.8919         0
              0         0         0    0.0000
              0         0         0         0

     V =

        -0.2172    0.8083    0.2225    0.5000
        -0.3857    0.3901   -0.6701   -0.5000
        -0.5442   -0.0223    0.6733   -0.5000
        -0.7127   -0.4405   -0.2193    0.5000