3.4.10 Anwendung der SVD: Bild, Kern und Konditionszahl einer Matrix

Sei in der Singulärwertzerlegung (3.7) $\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_r > \sigma_{r+1} = \cdots = \sigma_p = 0$. $r$ ist der Rang der Matrix.

Wir zerlegen $U=[U_1, U_2]$ und $V=[V_1, V_2]$ so, dass $U_1$ und $U_2$ jeweils aus den ersten $r$ Spalten von $U$ resp. $V$ besteht. Dann bilden die Spalten von $V_2$ eine Orthonormalbasis des Kerns (Nullraums) von $A$ und $U_1$ eine Orthonormalbasis des Bilds von $A$. Die Spalten von $U_2$ bilden eine Orthonormalbasis des Kerns (Nullraums) von $A^T$ und $V_1$ eine Orthonormalbasis des Bilds von $A^T$.

Die Matrix $A = U_1 \Sigma_1 V_1^T$ ist eine ein-eindeutige Abbildung von $\mathcal{N}(A)^\perp$ in $\mathcal{R}(A)$. Diese Abbildung hat eine Inverse, die sog. Pseudoinverse: $A^+ = V_1 \Sigma_1^{-1} U_1^T$.

Weitere wichtige Eigenschaften der SVD sind

• $\sigma_1 = \Vert A \Vert _2$ die Spektralnorm von $A$.

• Wenn $A$ invertierbar ist, so ist $1/\sigma_n = \Vert A^{-1} \Vert _2$.

• Die Konditionszahl von $A$ (bzgl. der Spektralnorm) ist
  $$\kappa(A) = \Vert A\Vert _2 \cdot \Vert A^{-1} \Vert _2 = \sigma_1 / \sigma_n.$$

• Die Konditionszahl zeigt an, wieviele Stellen man beim Lösen eines Gleichungssystems verliert.

• Beispiel:
  • Exakt: $\mathbf{y}=A^{-1} \mathbf{b}$.
  • Gerechnet $\mathbf{x} \approx \mathbf{y}$.
  • $\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert\approx \kappa(A) \varepsilon \Vert\mathbf{x}\Vert, \qquad \varepsilon \approx 10^{-16}$.
  • Stellenverlust ca. $\log_{10}\kappa(A)$.

Das folgende Zahlbeispiel stammt von R. Rannacher: Einführung in die Numerische Mathematik, Heidelberg 1999/2000.

     >> format long
     >> A=[1.2969,0.8648;0.2161,0.1441];
     >> y=[2;-2]
     
     y =

          2
         -2

     >> b=A*y

     b =
     
        0.86420000000000
        0.14400000000000

     >> x=A\b

     x =

        2.00000000480060
       -2.00000000719924

     >> norm(y-x)

     ans =

          8.653026991073135e-09

     >> cond(A)

     ans =

          2.497292668562500e+08

     >> cond(A)*eps

     ans =

          5.545103639731375e-08

     >> norm(b-A*x)

     ans =

          5.551115123125783e-17

     >> norm(b-A*y)

     ans =

          0