5.3.6 Aufgaben

1. Schreiben Sie eine Funktion, die die ersten $n$ Tschebyscheff-Polynome an den Stützstellen gegeben durch den Vektor $\mathbf{x}$ auswertet, siehe Seite . Die erste Zeile des Funktionenfiles soll die Form

   function T = tscheby(x,n)

   haben.

2. Wurzelberechnung. Das Newton-Verfahren zur Berechnung der Wurzel einer positiven Zahl $a$ ist gegeben durch
   $$x_{k+1} = \frac{1}{2} \left( x_k + \frac{a}{x_k} \right).$$
   Schreiben Sie eine eigene Funktion

   [x, iter] = wurzel(a, tau),

   die $\sqrt{a}$ auf eine gewisse Genauigkeit $\tau$ berechnet:

   $$\vert x_{k+1} - x_k\vert \le \tau.$$
   Wenn nur ein Eingabeparameter vorgegeben wird, so soll $\tau = \varepsilon = \mathtt{eps}$ gesetzt werden.

   Sehen Sie auch einen Notausgang vor, wenn Folge $\{ x_k \}$ nicht (genügend schnell) konvergiert.

3. Lösen Sie die gewöhnliche Differentialgleichung

   $$\frac{dy}{dt} = -2ty(t) + 4t, \qquad y(0) = 0.$$ (5.1)

   
   
   Die analytische Lösung ist
   $$y(t) = c e^{-t^2} + 2, \qquad c = y(0)-2.$$
   Wir wollen die Funktion ode23 zur Lösung dieser Differentialgleichung verwenden. ode23 geht von einer Differentialgleichung der Form
   $$y'(t) = f(t,y(t))$$   plus Anfangsbedingungen$$$$
   aus. Deshalb schreiben Sie zunächst eine Funktion, z.B. fun_ex1.m, die zwei Eingabeargumente, $t$ und $y(t)$, und ein Ausgabeargument, $f(t,y)$, hat. Danach lösen Sie die Gleichung (5.1) im Interval $[0,3]$. ode23 hat zwei Ausgabeparameter, Vektoren (t, y) der selben Länge, die die (approximativen) Werte der Lösung $y(t)$ and gewissen Stellen $t$ enthält. Die Lösung kann so leicht geplottet werden.

4. Räuber-Beute-Modell. Im Räuber-Beute-Modell von Lotka-Volterra geht man von zwei Populationen aus, einer Beutepopulation $y_1$ und einer Räuberpopulation $y_2$. Wenn ein Räuber ein Beutetier trifft frisst er es mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit $c$. Wenn die Beutepopulation sich alleine überlassen wird, so wächst sie mit einer Rate $a$. (Das Nahrungsangebot ist unendlich gross.) Die Räuber haben als einzige Nahrung die Beutetiere. Wenn diese nicht mehr vorhanden sind, so sterben auch die Räuber (mit einer Rate $b$) aus.

   Hier betrachten wir das Beispiel von Hasen und Füchsen, deren Bestände durch $y_1(t)$ und $y_2(t)$ bezeichnet seien. Das Räuber-Beute-Modell von Lotka-Voltarra hat die Form

   $$\begin{aligned}\frac{dy_1}{dt}(t) &= a y_1 - c y_1 y_2, \qquad ... ... &= -b y_2 + d y_1 y_2, \qquad &y_2(0) = y_2^{(0)}. \end{aligned}$$

   
   
   Alle Koeffizienten $a$, $b$, $c$ und $d$ sind positiv. Man rechen das Modell mit folgenden Parametern durch:
   • Zuwachsrate Hasen: $a=0.08$,
   • Sterberate Füchse: $b=0.2$,
   • Wahrscheinlichkeit, bei Treffen gefressen zu werden: $c=0.002$,
   • Beutewahrscheinlichkeit der Füchse: $d=0.0004$,
   • Anfangsbedingungen: Anfangsbestand Hasen 500, Anfangsbestand Füchse 20.
   Die Simulation ergibt eine periodische Schwingung, wobei die Maxima der Räubertiere jeweils eine kurze Weile nach den Maxima der Beutetiere auftreten.

   Abbildung 5.2: Simulation eines Räuber-Beute-Modell

   

   Verwenden Sie ode34 und lösen Sie die Differentialgleichung im Interval $[0,200]$. Das M-File, das Sie schreiben müssen, sieht wie in der vorigen Aufgabe aus, hat aber einen 2-komponentigen Vektor als Ausgabeargument. Zur Darstellung der beiden Lösungskomponenten können Sie den Befehl plotyy verwenden, vgl. Abschnitt 7.4.

5. Die nicht-lineare gewöhnliche Differentialgleichung dritter Ordnung

   $$f'''(t) + f''(t) f(t) = 0, \qquad f(0) = f'(0) = 0, \lim_{t\rightarrow\infty}f'(t) = 1$$ (5.3)

   
   
   hat keine analytische Lösung. Da MATLABs ODE-Löser Anfangswertprobleme erster Ordnung lösen, müssen wir zunächst (5.3) in ein solches umschreiben. Wir setzen

   $$y_1(t) = f(t) y_3(t) = \frac{dy_2(t)}{dt} = \frac{d^2y_1(t)}{dt^2} = f''(t),$$

   $$y_2(t) = \frac{dy_1(t)}{dt} = f'(t), \frac{dy_3(t)}{dt} = f'''(t).$$

   
   
   Somit erhält die ursprüngliche gewöhnliche Differentialgleichung dritter Ordnung die Form
   $$\frac{dy_1(t)}{dt} = y_2(t), \qquad \frac{dy_2(t)}{dt} = y_3(t), \qquad \frac{dy_3(t)}{dt} = -y_1(t) y_3(t).$$
   Die Anfangsbedingungen für $y_1$ und $y_2$ sind bekannt: $y_1(0) = 0$ und $y_2(0) = 0$. Wir haben keine Anfangsbedingung für $y_3$. Wir wissen aber, dass $y_2(t)$ mit $t\rightarrow\infty$ gegen 1 konvergiert. Deshalb kann die Anfangsbedingung für $y_3$ verwendet werden, um $y_2(\infty)=1$ zu erhalten. Durch versuchen erhält man $y_3(0) \approx 0.469599$. Die Lösung sieht wie in Abb. 5.3 aus.

   Abbildung 5.3: ODE dritter Ordnung

   
6. Versuchen Sie die Konstante in der Anfangsbedingung für $y_3$ zu bestimmen. Man muss dabei nicht bis $t=\infty$ gehen; $t=6$ reicht. Versuchen Sie also mit fzero eine Nullstelle der Funktion
   $$g(a) = y_2(6,a) - 1 = 0$$
   zu berechnen. Hier bedeutet $y_3(6,a)$ der Funktionswert von $y_3$ an der Stelle $t=6$ wenn die Anfangsbedingung $y_3(0) = a$ gewählt wurde.