7.5 Darstellung von Flächen

MATLAB kennt verschiedene Möglichkeiten, um 3D Objekte graphisch darzustellen. Den Befehl plot3 haben wir schon kennen gelernt.

Mir der Funktion mesh können 3D-Maschenflächen geplottet werden. Zu diesem Zweck ist es von Vorteil, zunächst eine weitere Funktion meshgrid einzuführen. Diese Funktion generiert aus zwei Vektoren $x$ (mit $n$ Elementen) und $y$ (mit $m$ Elementen) ein Rechtecksgitter mit $n\times m$ Gitterpunkten.

    >> x = [0 1 2];
    >> y = [10 12 14];
    >> [xi yi] = meshgrid(x,y)

    xi =

         0     1     2
         0     1     2
         0     1     2


    yi =

        10    10    10
        12    12    12
        14    14    14

Der Befehl meshgrid angewandt auf die beiden Arrays $x$ und $y$ erzeugen zwei Matrizen, in welchen die $x$- und $y$-Werte repliziert sind. So erhält man die Koordinaten aller Gitterpunkte gebildet mit den $x_i$ und $y_j$.

Wir können jetzt z.B. die Sattelfläche $z = x^2 - y^2$ über dem Quadrat $[-1,1] \times [-1,1]$ zeichnen.

    x = -1:0.05:1; 
    y = x; 
    [xi, yi] = meshgrid(x,y); 
    zi = yi.^2 - xi.^2;
    mesh(xi, yi, zi) 
    axis off

Mit

    meshc(xi, yi, zi) 
    axis off

erhält man dasselbe noch mit einem Kontour-Plot.

Die Maschenlinien werden als Flächen dargestellt, wenn man mesh(c) durch surf(c) ersetzt.

Abbildung 7.7: Die Sattelfläche dargestellt mit surf

Die Figur 7.7 ist erhalten worden durch die Befehle

    x = -1:.05:1;  y = x; 
    [xi,yi] = meshgrid(x,y); 
    zi = yi.^2 - xi.^2;
    surf(xi, yi, zi)
    axis off
    colormap pink
    shading interp     % Interpolated shading

Der Befehl colormap wird verwendet um der Fläche eine bestimmte Farbtönung zu geben. MATLAB stellt folgende Farbpaletten zur Verfügung:

hsv	Hue-saturation-value color map (default)
hot	Black-red-yellow-white color map
gray	Linear gray-scale color map
bone	Gray-scale with tinge of blue color map
copper	Linear copper-tone color map
pink	Pastel shades of pink color map
white	All white color map
flag	Alternating red, white, blue, and black color map
lines	Color map with the line colors
colorcube	Enhanced color-cube color map
vga	Windows colormap for 16 colors
jet	Variant of HSV
prism	Prism color map
cool	Shades of cyan and magenta color map
autumn	Shades of red and yellow color map
spring	Shades of magenta and yellow color map
winter	Shades of blue and green color map
summer	Shades of green and yellow color map

Eine Farbpalette ist eine 3-spaltige Matrix mit Elementen zwischen 0 und 1. Die drei Werte einer Zeile geben die Intensität der Farben Rot, Grün und Blau an.

Sei m die Länge der Palette und seien cmin und cmax zwei vorgegebene Zahlen. Wenn z.B. eine Matrix mit pcolor (pseudocolor (checkerboard) plot) graphisch dargestellt werden soll, so wird ein Matrixelement mit Wert c die Farbe der Zeile ind der Palette zugeordnet, wobei

   ind$$= \left\{ \begin{array}{ll} \mbox{\texttt{fix((c-cmin)/(cmax-cmin... ...chtbar} & \mbox{\texttt{c<cmin \vert c>cmax \vert c==NaN}} \end{array} \right.$$

Mit dem Befehl view könnte man den Blickwinkel ändern.

Isolinien (Konturen) erhält man mit contour oder `gefüllt' mit contourf.

    x = -1:.05:1;  y = x; 
    [xi,yi] = meshgrid(x,y); 
    zi = yi.^2 - xi.^2;
    contourf(zi), hold on, 
    shading flat               % flat = piecewise constant
    [c,h] = contour(zi,'k-');
    clabel(c,h)                % adds height labels to 
                               % the current contour plot
    title('The level curves of z = y^2 - x^2.') 
    ht = get(gca,'Title'); 
    set(ht,'FontSize',12)

MATLAB erlaubt es auch Vektorfelder darzustellen. Wir nehmen den Gradienten der Funktion, die in Z gespeichert ist, vgl. Figur 7.8.

    >> x = [0:24]/24;
    >> y = x;
    >> for i=1:25
    >>    for j=1:25
    >>       hc = cos((x(i) + y(j) -1)*pi);
    >>       hs = sin((x(i) + y(j) -1)*pi);
    >>       gx(i,j) = -2*hs*hc*pi + 2*(x(i) - y(j));
    >>       gy(i,j) = -2*hs*hc*pi - 2*(x(i) - y(j));
    >>    end
    >> end
    >> quiver(x,y,gx,gy,1)

Abbildung: Das Vektorfeld $\mathbf{grad}(\sin(x+y)\cos(x+y))$