3.4.5 Aufgabe (Regressionsgerade)

1. Vorgegeben sei wieder eine Funktion $f(x)$. Gesucht ist nun die Gerade, d.h. das lineare Polynom
   $$p(x) = a_1 + a_2 x$$
   so, dass
   $$p(x_i) \approx f(x_i), \quad i = 1, \ldots, n.$$
   im Sinne der kleinsten Quadrate gilt.
   $$\left\Vert \left[ \begin{array}{cc} 1 & x_1 \\ 1 &x_2 \\ \vdots... ...} f(x_1) \\ f(x_2) \\ \vdots\\ f(x_n) \end{array}\right) \right\Vert _2 = \$$   minimal$$$$

   Verwenden Sie die Daten:

        >> n=20;
        >> x = [1:n]';
        >> y = x + (2*rand(size(x))-1);
   

   Die Systemmatrix hat als erste Spalte die Stützstellen $x_i$ und als zweite Spalte 1. Natürlich könnte man wieder wie bei der Polynominterpolation die Funktion vander benützen und dann die richtigen Spalten aus der Matrix extrahieren. Hier ist es aber einfacher, die Systemmatrix direkt aufzustellen.

   Die Lösung des überbestimmten Gleichungssystems ist ein Vektor mit zwei Komponenten. Werten Sie das Polynom an den Stützstellen $x_i$ aus, direkt oder mit polyval. Wenn Sie diese Werte in einem Vektor Y speichern und den Befehl

   plot(x,y,'ro',x,Y,'b')

   eingeben, dann erhalten Sie (im wesentlichen) die Abbildung 3.4.

   Abbildung 3.4: Regressionsgerade