3.4.6 Eigenwertzerlegung

Eine Zerlegung der Form

$$A = X \Lambda X^{-1}$$ (3.5)

heisst Spektralzerlegung (Eigenwertzerlegung) von $A$. (Eine solche existiert nicht immer!) In (3.5) ist $\Lambda =$   diag$(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ eine Diagonalmatrix. Die Diagonalelemente $\lambda_i$ heissen Eingenwerte, die Spalten $\mathbf{x}_i$ von $X = [\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_n]$ Eigenvektoren. Es gilt $A\mathbf{x}_i = \lambda\mathbf{x}_i$ for alle $i$.

     >> A=[1 3 5 7;2 4 4 8; 3 1 2 3; 4 3 2 1]

     A =

          1     3     5     7
          2     4     4     8
          3     1     2     3
          4     3     2     1

     >> Lam=eig(A)

     Lam =

        12.7448
        -4.6849
        -1.3752
         1.3153

     >> [Q,L]=eig(A)

     Q =

        -0.5497   -0.5826    0.3345   -0.2257
        -0.6502   -0.4848   -0.4410    0.7334
        -0.3282    0.0418   -0.6402   -0.6290
        -0.4092    0.6510    0.5328    0.1248

     L =

        12.7448         0         0         0
              0   -4.6849         0         0
              0         0   -1.3752         0
              0         0         0    1.3153

     >> norm(A*Q-Q*L)

     ans =

        7.1768e-15