3.4.7 Anwendung: Matrixfunktionen

Sei

$$A = X \Lambda X^{-1}.$$

Dann ist

$$A^2 = X \Lambda X^{-1}X \Lambda X^{-1} = X \Lambda^2 X^{-1}$$

und allgemeiner

$$A^k = X \Lambda^k X^{-1}$$   $$.$$

Sei $p$ ein Polynom. Dann ist

$$p(A) = X p(\Lambda) X^{-1} = X \left[ \begin{array}{ccc} \lambda_1 && \\ & \ddots & \\ && \lambda_n \end{array}\right] X^{-1}.$$

Allgemeiner kann man für eine Funktion $f$ schreiben:

$$f(A) = X f(\Lambda) X^{-1} =X \left[ \begin{array}{ccc} f(\lambda_1) && \\ & \ddots & \\ && f(\lambda_n) \end{array}\right] X^{-1}.$$

Die einzige Einschränkung an die Funktion $f$ ist, dass sie an allen Stellen $\lambda_i$ definiert ist.

Im Prinzip könnte man zu allen in Tabelle 3.3 aufgelisteten skalaren Funktionen eine entsprechende Matrixfunktion definieren (Algorithmus von Parlett basierend auf der Schurzerlegung [7, p.384]). Dies wurde in MATLAB ausser für den Logarithmus, die Exponential- und Wurzelfunktion nicht gemacht. Funktionen wie exp, log, cos, sin, cosh, sinh können mit durch funm(a,@sin), etc. aufgerufen werden. funm kann auch für eigene Funktionen gebraucht werden: funm(a,@my_fun).

 
     >> a=[1 2 ;3 4]
     a =
          1     2
          3     4
     >> s=funm(a,@sin)
     s =
        -0.4656   -0.1484
        -0.2226   -0.6882
     >> c=funm(a,@cos)
     c =
         0.8554   -0.1109
        -0.1663    0.6891
     >> norm(s^2 + c^2 - eye(size(a)))
     ans =
        6.9184e-16
     >>

Die Eigenwertzerlegung in der angegebenen Form, d.h. mit diagonalem $\Lambda$ existiert nicht immer. Für weitere Informationen siehe die Schurzerlegung: help schur.